Die Wahrscheinlichkeiten hinter dem Münzknobeln

Vollständig ausgerechnete Verteilungen für ein bis sechs unbekannte Fäuste

Beim Münzknobeln muss man nie die Gesamtsumme raten – nur den Teil, den man nicht kennt. Die eigenen Münzen sind bekannt, also bleibt die Summe der anderen Fäuste als einzige Unbekannte. Diese Seite rechnet aus, wie diese Summe verteilt ist, und macht daraus eine Tipp-Empfehlung, die man sich am Tisch tatsächlich merken kann.

Das Modell

Angenommen, jede Person lädt völlig unvorhersehbar, also jede der vier Möglichkeiten (0, 1, 2, 3 Münzen) gleich häufig. Dann ist jede einzelne Faust eine Gleichverteilung auf {0, 1, 2, 3}, und die Summe mehrerer Fäuste ergibt sich als deren Faltung. Für k unbekannte Fäuste gibt es 4^k gleich wahrscheinliche Ladungen; man zählt einfach, wie viele davon auf jede Summe entfallen.

Der Erwartungswert einer Faust ist (0 + 1 + 2 + 3) / 4 = 1,5 Münzen. Bei k unbekannten Fäusten liegt der Schwerpunkt also bei 1,5 · k, und die wahrscheinlichsten Summen sind die ein oder zwei Zahlen um diesen Wert herum. Ist 1,5 · k keine ganze Zahl, teilen sich zwei Summen die Spitzenposition.

Eine unbekannte Faust (Duell)

Im Endspiel zu zweit kennen Sie Ihre eigenen Münzen und müssen nur die des Gegenübers treffen. Vier Möglichkeiten, alle gleich wahrscheinlich:

Deshalb zieht sich das Duell: Pro Runde entscheidet es sich nur in etwa der Hälfte der Fälle – jeder der beiden trifft mit 25 %, und beide zusammen kommen selten aus der Sache heraus, ohne dass eine weitere Runde nötig wird.

Zwei unbekannte Fäuste (3 Spieler)

Drei unbekannte Fäuste (4 Spieler)

Vier unbekannte Fäuste (5 Spieler)

Fünf unbekannte Fäuste (6 Spieler)

Sechs unbekannte Fäuste (7 Spieler)

Die beste Trefferchance, die es gibt

Fasst man die Spitzen der Tabellen zusammen, ergibt sich die Obergrenze für einen einzelnen Tipp – erreichbar nur, wenn man tatsächlich die wahrscheinlichste Zahl wählen darf und sie noch nicht vergeben ist:

Zwei Dinge fallen auf. Erstens: Die Chance sinkt mit jeder zusätzlichen Person, aber erstaunlich langsam – zwischen vier und sieben Spielern verliert man nur rund viereinhalb Prozentpunkte. Zweitens: Selbst optimal gespielt trifft man in großen Runden nur in etwa jedem siebten Versuch. Münzknobeln ist deshalb kein Spiel, das man gewinnt, sondern eines, in dem man das Verlieren aufschiebt – und über viele Abende hinweg summiert sich genau das.

Was das für den eigenen Tipp bedeutet

• Rechnen Sie in unbekannten Fäusten, nicht in Spielern. Eigene Münzen plus 1,5 pro verbleibendem Gegner ist der Ausgangspunkt jedes vernünftigen Tipps.
• Die Verteilung ist flach. Zwischen der besten und der zweitbesten Zahl liegen meist nur zwei bis drei Prozentpunkte. Wenn Ihre Wunschzahl schon vergeben ist, verlieren Sie durch den Nachbarwert fast nichts.
• Die Ränder sind Gift. Bei sechs Spielern hat die Summe 0 eine Chance von 0,10 %. Extremtipps sind praktisch immer verschenkt – außer als bewusste Fehlinformation, wenn man ohnehin nicht treffen kann.
• Je später Sie schätzen, desto besser. Die Tabellen gelten für den Fall ohne Zusatzinformation. Jeder gehörte Tipp verschiebt die Verteilung – wie genau, steht auf der Strategieseite.

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